SEJARAH KEHIDUPAN MATEMATIKAWAN MODERN

Kehidupan matematikawan hebat yang disajikan di sini ditujukan kepada pembaca umum dan lainnya yang banyak ingin melihat seperti apa orang-orang yang menciptakan matematika modern itu. Objeknya adalah matematika seperti yang ada hari ini dan untuk melakukan hal ini melalui kehidupan orang-orang yang bertanggung jawab atas ide-ide tersebut. Penekanan sepenuhnya pada matematika modern, yaitu pada ide-ide besar dan sederhana yang membimbing pemikiran matematika yang masih sangat penting dalam hidup, ilmu pengetahuan kreatif dan matematika. Inti dari cerita ini dalam kehidupan dan kepribadian dari pencipta matematika modern, bukan dalam rumus dan segelintir diagram yang tersebar melalui teks. Ide-ide dasar matematika modern, dari mana kompleksitas luas dan rumit keseluruhan telah ditenun oleh ribuan pekerja, yang sederhana, ruang lingkup tak terbatas, dan baik dalam pemahaman dari setiap manusia dengan kecerdasan normal.

Matematika modern dimulai dengan dua kemajuan besar, analisis geometri dan kalkulus. Yang pertama mengambil bentuk yang pasti pada tahun 1637, kemudian tentang 1666, meskipun tidak menjadi milik sampai satu dekade kemudian. Tampaknya aneh karena tidak semua tokoh besar matematika merupakan profesor di perguruan tinggi atau universitas. Cukup banyak diantaranya berprofesi sebagai tentara, teologi, hukum, dan kedokteran, dan salah satu yang terbesar adalah sebagai diplomat yang biasa berbohong untuk kebaikan negaranya. Beberapa tidak memiliki profesi sama sekali. Bahkan, tidak semua profesor matematika hebat dalam matematika.

Matematika itu telah memiliki empat usia besar: Babilonia, Yunani, Newton (untuk memberikan periode sekitar 1700 nama), dan terakhir, yang dimulai sekitar 1800 dan berlanjut sampai sekarang. Hakim yang kompeten telah disebut terakhir Golden Age of Matematika.

Berikut beberapa sejarah matematikawan beserta penemuannya :

Rene Descartes (1596 – 1650)

Rene Descrates berasal dari keluarga bangsawan kuno, meskipun ayahnya bukan orang kaya. Ibunya bernama Jeane Brochard, ia meninggal setelah melahirkan Descrates. Descartes muda tidak banyak mempunyai teman. Anak kecil serius ini pada umur sepuluh tahun dikirim ke sekolah Jesuit di La Fleche yang terkenal di seluruh Eropa. Salah satu teman akrab Descartes adalah Mersenne. Di sekolah ini Descartes belajar logika, etika, metafisik, sejarah dan ilmu pengetahuan sebelum belajar aljabar dan geometri tanpa guru. Menghubungkan aljabar dengan geometri barangkali adalah karya besar Descartes. Suatu persamaan aljabar dapat diekspresikan ke dalam bentuk geometri. Bentuk lingkaran, elips, hiperbola, parabola dapat diekspresikan dalam persamaan-persamaan aljabar. Ditambah dengan sistem Kartesian (menggambar dalam potongan sumbu x dan sumbu y pada titik (0,0) yang membentuk 4 kuadran) memudahkan para matematikawan mengformulasikan hal-hal yang selama ini merupakan obyek-obyek yang kasat mata menjadi nyata. Peranan Descartes dalam filsafat juga layak ditonjolkan lewat aksioma-aksioma.

Blaise Pascal (1623 – 1662)

Blaise Pascal adalah anak Etienne Pascal, seorang ilmuwan dan matematikawan yang lahir di Clermont. Ibu Pascal, Antoinette Bigure. Pascal tidak sekolah tetapi diajar oleh ayahnya dan sesekali oleh guru pribadi. Eteinne mempunyai ide sendiri tentang pendidikan: “Jangan memaksa anak untuk mencerna ilmu di atas kemampuan.” Pascal mempelajari geometri dengan belajar sendiri sampai ayahnya menyerah dan seorang teman Eteinne memberi kado Pascal buku tentang Element dari Euclid.

Untuk membantu ayahnya menghitung penerimaan pajak, Pascal kecil menciptakan mesin hitung yang diberi nama Pascaline. Lura biasa, umur 18 tahun mampu menciptakan mesin penghitung yang mampu melakukan operasi: tambah, kurang, perkalian dan pembagian, dan berencana menghitung akar bilangan.

Umur 13 tahun menemukan segitiga Pascal. Umur 14 tahun disertakan sebagai anggota kelompok diskusi di rumah Mersenne di dekat Paris. Saat itulah, Pascal bertemu dan berdiskusi dengan Descartes, Fermat, Roberval. Mersenne sebenarnya hanyalah teman sekolah Descartes, namun posisinya di dekat raja dan mempunyai kegemaran akan matematika membuat dia menyediakan tempat dan waktu untuk pertemuan pakar dan terutama matematikawan pada jaman itu. Ketertarikan Mersenne akan ilmu pengetahuan ini membuat dia mendirikan Akademi Sains Perancis (French Academy of Sciences). Umur 16 tahun, menemukan theorema Pascal: “Titik-titik singgung pada sisi-sisi sebuah segi enam/heksagon pada sebuah kerucut terletak pada suatu titik.” Umur 17 tahun, Pascal menggunakan theorema ini untuk menjabarkan lebih dari 400 preposisi pada buku tentang kerucut. Selain itu theorema ini menjadi salah satu theorema dasar pada geometri proyektif. Geometri proyektif sudah ada sejak dulu, tapi lewat sentuhan Pascal dan Desargues diubah menjadi studi formal. Keduanya mempelajari geometri proyektif, bukan untuk karya seni, tetapi menemukan bahwa potongan kerucut ellips, hiperbola, parabola adalah proyeksi dari suatu lingkaran apabila dilihat dari suatu titik pada kerucut.

Pascal melakukan kolaborasi dengan Fermat mencetuskan teori probabilitas. Pascal tertarik dengan teori probabilitas lewat judi. Teori yang berasal dalam sengketa penjudi sekarang di dasar banyak perusahaan yang kita anggap lebih penting dari perjudian, termasuk semua jenis asuransi, statistik matematika dan aplikasinya untuk biologi dan pengukuran pendidikan, dan banyak fisika teoritis modern.

Isaac Newton (1642 - 1727)

Ayah Newton, seorang petani, beliau sudah meninggal 3 bulan sebelum Newton dilahirkan. Ibunya menginginkan agar Newton menjadi petani, tapi jalan hidupnya berubah setelah melanjutkan sekolah di Grantham dan kost di rumah seorang apoteker. Di sini Newton mempunyai kesempatan membaca buku dan melakukan eksperimen. Penemuan kincir air, kincir angin, jam pasir dan jam air terjadi pada periode ini, sebelum dipanggil pulang untuk mengurus tanah pertanian dan berhenti sekolah. Namun tahun 1658, Newton kembali ke rumah apoteker dan kembali sekolah. Juni 1661, Newton masuk Universitas Cambridge Trinity. Awalnya dia mempelajari “Ilmu cahaya (optics)” Kepler, membaca “Teori dasar ilmu ukur” Euclid serta “Cara dan petunjuk ilmu ukur” Tycho Brahe. Di bawah bimbingan Isaac Barrow, Newton mulai mempelajari matematika dan ilmu optik. Tahun 1687 terbitlah karya Newton yang monemental, Principia. Tahun 1666, Newton sudah menemukan kalkulus namun baru sepuluh tahun kemudian, diusulkan oleh Royal Society untuk membuat laporan guna diperiksa kepada Johann Bernoulli (1646 – 1716). Pada saat yang bersamaan, ahli matematika Jerman, Leibniz juga meneliti kalkulus setelah membaca laporan Newton pada waktu ada kesempatan mengunjungi Bernoulli. Keduanya saling menuduh siapa yang pertama kali menemukan kalkulus. Akhirnya keduanya dikukuhkan bahwa kalkulus adalah penemuan mereka berdua. Dalam perkembangannya, kelak, kalkulus versi Leibniz lebih banyak digunakan karena lebih sederhana, namun kalkulus tidak akan kita kenal, apabila tidak ada Newton.

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716)

Leibniz adalah anak seorang profesor filsafat moral, Friedrich Leibniz warganegara Jerman. Ibu Leibniz adalah Catharina Schmuck, anak seorang pengacara. Leibniz tidak puas dengan sistem (filsafat) Aristoteles dan berusaha mengembangkan ide-idenya. Tahun 1661, saat umur 15 tahun , dia masuk universitas Leipzig dengan jalur hukum. Setelah lulus ia pergi ke Jena. Di Jena, di bawah bimbingan matematikawan sekaligus filsuf terkemuka, Erhard Weigel, dia mulai memahami pentingnya pembuktian matematika terhadap logika dan filsafat. Weigel percaya bahwa bilangan adalah konsep paling dasar dari alam semesta dan ide-ide ini memberi pengaruh sangat mendalam bagi Leibniz.

Huygens adalah seorang fisikawan, tapi karya-karya terbaiknya justru terkait dengan horologi (ilmu tentang pengukuran waktu), sebagai peneliti tentang gerakan cahaya, sekaligus seorang matematikawan. Huygens memberi Leibniz makalahnya tentang kerja matematika pada pendulum kepada Leibniz. Melihat kehebatan kekuatan matematika, Leibniz memohon agar Huygens bersedia mengajarinya matematika. Suatu saat, dalam kunjungan ke London, Leibniz menghadiri pertemuan dengan Royal Society, dimana dia menunjukkan kerja mesin hitung penemuannya. Penemuan dan hasil karyanya itu membuat Leibniz diangkat sebagai anggota Royal Society berwarganagara asing sebelum dia pulang ke Paris pada tahun 1673. Tidak lama kemudian, Leibniz dan Newton pada saat hampir bersamaan diangkat menjadi anggota Akademi Sains Perancis berwarganegaraan asing, keduanya mengaku sebagai penemu kalkulus.

Tahun 1673, Leibniz menyempurnakan notasi-notasi kalkulus versinya dan pada tahun 1675, dia menulis manuskrip dengan menggunakan notasi: f(x)dx untuk pertama kalinya. Tahun 1676, menemukan notasi: d(xn) = nxn?¹ dx untuk integral dan pangkat n, dimana sejak tahun ini pula dia menghabiskan sisa hidupnya di Hanover, kecuali pergi untuk kunjungan-kunjungan ilmiah. Tahun 1679, Leibniz pertama kali mengenalkan sistem bilangan berbasis dua (biner). Istilah matematika Liebniz dalam biner ini tergolong sangat kontroversial, barangkali pengaruh latar belakang keluarga dan pendidikannya sangat besar. Begitu pula sikapnya terhadap bilangan imajiner (i atau v-1) yang disebutnya dengan roh kudus. Dia sebenarnya memahami bahwa bilangan i akhirnya mengungkapkan hubungan antara nol dan bilangan tidak terhingga.

Keluarga Bernoulli (Abad 17 – Abad 18)

Selama tiga generasi hampir semua keturunan keluarga Bernoulli menjadi matematikawan dengan prestasi yang layak dibanggakan. Perkembangan matematika tidak akan menjadi seperti sekarang tanpa peran keturunan-keturunan keluarga Bernoulli. Perkembangan kalkulus makin cepat dan terus menyebar karena peran keluarga Bernoulli dan Euler yang hidup sejaman. Silsilah keluarga Bernoulli di mulai dari Bernoulli senior, adalah salah seorang keluarga Protestan yang mengungsi dari Antwerp pada tahun 1583, menyelamatkan diri dari pembantaian orang Katholik. Nicolaus senior adalah seorang pedagang. Profesi pedagang keluarga Bernoulli, kemudian disusul oleh profesi dalam bidang obat-obatan. Bakat matematik yang keluar dari keluarga pedagang ini muncul secara tiba-tiba. Berbagai kiprah keturunan-keturunan Nicolaus Senior disajikan di bawah ini.

Generasi Pertama :

1. Jacob I

Menguasai kalkulus versi Leibniz dengan belajar sendiri. Sejak tahun 1687 sampai wafatnya dia menjabat sebagai profesor matematika di Basel. Dia mengembangkan kalkulus yang tidak disentuh oleh Newton maupun Leibniz dan menerapkannya untuk menyelesaikan problem-problem baru dan sangat penting bagi perkembangan kalkulus. Mengawali diri dengan belajar filsafat (1671) disusul dengan theologi (1776). Kemudian mulai menekuni astronomi dan tidak mau meneruskan bisnis rempah-rempah ayahnya. Kutipan di awal tulisan adalah ungkapan diri menentang kemauan ayahnya. Setelah lulus theologi dia pergi ke Perancis selama dua tahun untuk menjadi murid [Rene] Descartes. Setelah merasa “cocok” dengan matematika, dia mulai melakukan surat-menyurat dengan Boyle dan Hooke dari Inggris. Meskipun terlibat dengan matematika, minatnya terhadap astronomi tidaklah pudar. Karya perdana dan terakhir dalam bidang astronomi adalah membetulkan teori komet. Sumbangsih Jacob I terutama pada geometri analitik (analytic geometry), teori probabilitas (the theory of probability) yang yang paling penting adalah variasi-variasi kalkulus (calculus of variations). Kelak, karya-karya Jacob I ini diteruskan oleh Euler, Lagrange dan Hamilton. Beberapa penemuan di bidang kalkulus dilakukan bersama saudaranya, Johannes I. Sebagai contoh, sikloid adalah sebuah kurva dengan garis yang curam diketemukan mereka berdua pada tahun 1697. Penemuan sikloid diawali oleh penemuan Huygens tentang jatuhnya partikel berat. Teori probabilitas diterbitkan sebagai buku pada tahun 1713, delapan tahun setelah Jacob I meninggal. Mereka dapat saling mendukung meskipun akhirnya persaudaraan ini pecah.

2. Johannes I

Mempunyai minat lebih beragam dibandingkan kakaknya, Jacob I. Selain menyebarkan kalkulus ke seluruh Eropa, dia juga mempelajari fisika, kimia, astronomi tanpa menyebut matematika yang sudah menjadi menu utama. Dia juga melakukan penelitian tentang optik, menulis teori tentang gelombang laut (pasang/surut) dan teori matematika tentang pelayaran, selain mencoba melakukan penelitian tentang mekanika. Tetap aktif berkarya sampai meninggalnya pada umur 80 tahun.

3. Nicolaus I

Seperti kakak dan adiknya, mempunyai bakat di bidang matematika. Dia mengawalinya dengan melakukan kesalahan jalur minat. Umur 16 tahun dia mengambil dan meraih gelar dalam bidang filsafat, sebelum melanjutkan di bidang hukum. Menjadi profesor hukum pertama di Bern sebelum mendirikan fakultas matematika di St. Peterburg. Memperoleh kehormatan tinggi dari Ratu Catherine.

Generasi Kedua

1. Daniel

Peran keturunan mulai tampak jelas pada generasi kedua. Johannes I memaksa anak kedua, Daniel, untuk meneruskan bisnis keluarga. Minat Daniel sebenarnya matematika, tapi dengan alasan tidak punya uang, maka dikirimlah Daniel untuk mempelajari obat-obatan di Universitas Basel. Usia 11 tahun, Daniel mulai belajar matematika dari kakaknya, Nicolaus III. Daniel dan (Leonhard) Euler adalah teman akrab sekaligus saingan. Sambil belajar obat-obatan, Daniel mempelajari teori ayahnya tentang energi kinetik dan mengaplikasikannya pada fisika dan dunia kedokteran. Hukum dasar untuk teori energi kinetik gas ditemukan oleh Van der Waals satu abad kemudian. Umur 25 tahun, Daniel menjadi profesor matematika St. Peterburg (didirikan Nicolaus I). Karya matematika Daniel mencakup kalkulus, persamaan diferensial, teori probabilitas (probability theory), teori tentang getaran dawai, meneliti teori kinetik gas dan menyelesaikan problem-problem dalam matematika terapan. Sebagai penutup, Daniel Bernoulli adalah penemu disiplin ilmu fisika matematika. Daniel mendapatkan penghargaan dari Akademi Perancis sebanyak 10 kali. Karya puncak Daniel adalah hidrodinamik, yang dikembangkan olehnya. Kelak, disiplin ilmu ini disebut dengan pelestarian energi (energy conservation).

2. Johannes II

Adik bungsu Nicolaus III dan Daniel, juga mengawali karirnya dengan salah pilih jalur sebelum kembali ke bakat turunan. Mengawali karir dalam bidang hukum dan diangkat menjadi profesor kehormatan di Basel, sebelum sukses menggantikan kursi ayahnya di bidang matematika. Karya utamanya di bidang fisika dan memenangkan tiga penghargaan di Paris (salah satunya sebagai matematikawan terbaik).

Keturunan Ketiga

1. Johannes III

Anak Johannes II, meneruskan tradisi keluarga, melakukan awalan yang salah. Seperti ayahnya, dia mulai dengan belajar hukum. Umur 13 tahun mengambil gelar doktor pada bidang filsafat. Baru umur 19 tahun, Johannes III menemukan panggilan hidupnya dan menjadi astronomer kerajaan di Berlin. Minatnya meliputi astronomi, geografi dan matematika.

2. Jacob II

Anak lain Johannes II, Jacob II, juga mengawali salah minat pada masa muda. Menekuni hukum sebelum banting setir pada umur 20 tahun dengan menekuni fisika. Akhirnya, berganti ke matematika dan menjadi anggota Akademi St. Peterburg dengan jurusan matematika dan fisika. Umurnya tidak panjang. Umur 30 tahun dia meninggal karena demam, meninggalkan karirnya yang lapang ke depan. Belum diketahui hasil karya-karyanya tetapi yang jelas dia menikah dengan salah seorang cucu (Leonhard) Euler.

Joseph Louis Lagrange (1736-1813)

Lagrange adalah piramida tinggi dari ilmu matematika. Lagrange merupakan campuran Prancis dan Italia. Kakeknya merupakan kapten kavleri Prancis yang mengabdi pada Charles Emmanuel II, Raja Sardinia. Ayah Lagrange adalah Giuseppe Francesco Lodovico Lagrangia seorang Bendahara Dinas Pekerjaan Umum dan Fortifications di Turin, sementara ibunya Teresa Grosso adalah anak perempuan dari seorang dokter medis dari Cambiano dekat Turin. Karya besar Lagrange adalah Analitis Mekanika (Mecanique analytique) yang dibuat sejak ia berumur 19 tahun namun baru diterbitkan saat ia berumur 52 tahun. Dalam buku itu dinyatakan bahwa dalam ilmu mekanika diperlukan geometri ruang empat dimensi tiga koordinat Kartesian ditambah dengan satu koordinat waktu untuk menggambarkan pergerakan partikel dalam ruang sekaligus dalam waktu. Setelah Einstein menggunakannya dalam teori relativitas umum mekanika, vesi Lagrange menjadi populer

Pada umur 19 tahun, ia menulis surat berisikan komentarnya tentang tentang variasi-variasi kalkulus yang ditulis oleh d’Alembert. Ia menggabungkannya variasi-variasi kalkulus  dengan mekanika. Metode yang kemudian dikenal dengan sebutan persamaan Lagrangian. Saat berumur 23 ia mengaplikasikan kaukulus differensial kedalam teori probabilitas. Kelak tahun 1870, ditemukan oleh G. Zolotareff.

Riset Lagrange dalam teori dan solusi persamaan memberi insprirasi aljabaris abad 19 seperti: Cauchy, Abel, Galois, Hermite dan Kronecker. Penyelesaian persamaan pangkat besar dengan koefisien berupa angka, seperti:

Ada banyak metode untuk mendapatkan akar bilangan. Semua itu diajarkan di aljabar. Akan tetapi Lagrange memberi metode universal untuk menyelesaikan persamaan. Guna menyelesaikan persamaan:  atau  dan pangkat lebih besar dari tiga. Pertam, pindahkan x ke ruas kiri dan ruas kanan sama dengan nol. Untuk persamaan dengan pangkat n dan bilangan tidak diketahui x, maka akan diperoleh nilai x sebanyak n. Untuk persamaan kuadrat di atas hasilnya adalah:

Karya penting Lagrange selama periode revolusi adalah menetapkan desimal (angka berbasis sepuluh) sebagai sistem metriks (kalibrasi) untuk berat dan panjang. Ia meninggal pada pagi hari tanggal 10 April 1813, pada umur 76 tahun.

Marquis Pierre Simon de Laplace(1749-1827)

Masa kecil Laplace tidak jelas diketahui. Orang tua Laplace adalah keluarga petani yang tinggal di Beaumonten-Auge, distrik Calvados,Prancis dimana Laplce  lahir pada 23 Maret 1749. Kecerdasan Laplace diketahui oleh tetangga kaya yang melihat bakat menonjol anak desa ini. Dikatakan bahwa sukses perdana Laplace adalah menang berdebat dalam suatu perdebatan theologi.

Laplace selalu mengembangkan ide-ide dari orang lain. Saat Lagrange membicarakan masalah tiga-raga, Laplace mengambil langkah serupa, namun dalam skala lebih luas. Laplace mulai dari hukum Newton dan digabung dengan dampak ketidakstabilan daya tarik  dari planet-planet terhadap matahari. Karya Legendre tentang cara melakukan analisis dibenahi oleh Laplace. Mecanique celeste merupakan karya besarnya yang mengacu kepada karya-karya orang lain digabungkan dengan sentuhan dari dirinya. Newton merupakan panutan bagi Laplace untuk mengembangkan model matematika alam semesta. Ketika ia berumur 24 tahun (1773), dia mampu membuktikan bahwa jarak antara planet-planet dengan matahari bervariasi tergantung pada periode. Prestasi ini membuat Laplace mendapat penghargaan, karir melonjak dan diangkat menjadi anggota Akademi Sains. Akhirnya ia memutuskan untuk menekuni bidang astronomi matematika.

Laplace mengembangkan teori potensial. Potensial adalah suatu fungsi u digambarkan dalam hubungannya dengan gerakan zat cair dan persamaan Laplace dibuat menurut kaidah dari Newton. Fungsi u adalah “potensi kecepatan”; apabila menggunakan rumus gravitasi Newton maka u adalah “potensi gravitasi.” Pengenalan konsep potensial ke dalam teori gerakan zat cair, gravitasi, elektromagnetik dan lain-lainnya adalah pencapaian paling penting dalam fisika matematika. Dampak dari penggantian persamaan-persamaan diferential ke dalam dua atau tiga variabel tidak diketahui dengan menggunakan persamaan dengan satu variabel tidak diketahui. Laplace menghabiskan hari terakhirnya di masa pensiun yang nyaman di tanah miliknya di arcuile, tidak jauh dari paris. Setelah sakit singkat ia meninggal pada tanggal 5 Maret 1827, dalam 78 tahun karirnya.

Carl Friedrich Gauss (1777– 1855)

Kakek Gauss adalah petani miskin yang menetap di Brunswick sejak tahun 1740 yang bertahan hidup dengan menjadi tukang kebun. Anak kedua dari kakek ini, Gerhard Diederich, lahir tahun 1744 adalah ayahanda Gauss. Sehari-hari Gerhard bekerja lepas sebagai tukang kebun, menggali salokan dan terkadang menjadi tukang batu. Dorothea Benz, ibunda Gauss, adalah anak tukang perancah batu. Dorothea mempunyai adik laki, Friedrich yang pertama kali mengenali bakat si genius kecil ini yang muncul sejak umur 3 tahun. Umur 7 tahun, Carl dikirim ke sekolah lokal. Suatu hari, untuk menjaga agar murid tetap sibuk, diberikan perintah agar semua anak menjumlah angka sebanyak 100 mulai dari 81297 + 91495 + 1693 + … + 100899. Semua angka mempunyai selisih 198. Setiap murid selesai, ditaruhkan batu tulis di atas meja guru; Guru itu, Buttner, menjelaskan hasilnya, Gauss meletakkan batu tulis di atas meja sambil berkata, “Itu salah.” Setelah sekolah usai, Buttner akhirnya menyebutkan bahwa jawaban Gauss yang benar. Guru itu mengatakan bahwa ia tidak sanggup lagi mengajari dan mengalihkan tanggung jawab ke asisten muda, Johann Martin Bartels [1969 – 1836]. Umur 12 tahun, Gauss sudah berani mempertanyakan dasar-dasar geometri Euclidian. Umur 15 tahun, Gauss sudah belajar di College, semua biaya ditanggung oleh Ferdinand, dengan mengambil jurusan bahasa kuno dan bahasa modern serta matematika. Umur 16 tahun mulai menggagas geometri selain Euclid. Setahun berikutnya mencari lubang-lubang pembuktian teori bilangan yang memuaskan pada pendahulunya, namun dianggap hanya karya setengah jalan, sebelum memasuki bidang favorit, aritmatika. Tiga tahun kemudian, Gauss masuk universitas Gottingen, dan belum dapat memutuskan jurusan matematika atau jurusan bahasa yang akan dipilih. Keputusan memilih bidang matematika terjadi pada tanggal 30 Meret 1796, dimana pada hari itu Gauss menemukan cara membuat poligon 17 sisi dengan menggunakan kompas dan penggaris. Cara menggunakan kompas dan penggaris dimulai sejak jaman Archimedes ini, namun cara menggambar poligon ini baru ditemukan oleh Gauss. Penemuan ini dianggap sebagai salah satu penemuan terbesar dari Gauss. Keputusan besar dan benar ini kemudian diikuti dengan janjinya untuk membuat catatan harian matematika yang diisi dengan ide-ide atau problem-problem yang melintas di kepala setiap hari. Dalam buku itu pula tertulis bahwa kemungkinan adanya geometri non-Euclidian; membuat perubahan besar dalam aritmatika; merombak teori bilangan; proses menemukan grafik dari bilangan kompleks dan membuktikan theorema dasar aljabar. Gauss remaja, seperti halnya Newton, adalah masa penuh ide dan sangat kreatif.

Buku Gauss yang berjudul Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus revolvi posse terbit , tahun 1799. Isi tesis doktoral adalah membuktikan theorema dasar aljabar – membuktikan bahwa polinomial pangkat n (kuadrat adalah pangkat 2 dan kubik adalah pangkat 3, quartik adalah pangkat 4 dan seterusnya) mempunyai (hasil) akar pangkat n juga. Hal tersebut baru valid (sahih) apabila perlakuan terhadap bilangan imajiner sama seperti bilangan riil.

Untuk bilangan riil: x4 + 2x³ + 9 = 0 akan mempunyai 4 hasil (bilangan) akar x³ + x² + 2x + 4 = 0 akan mempunyai 3 hasil (bilangan) akar.  Untuk bilangan imajiner: x² + 4 = 0 tidak dapat diselesaikan apabila bilangan riil yang dipakai. Hasil yang diperoleh adalah x = ± √-4, atau x = ± 2√-1. Seperti dinyatakan oleh Euler bahwa ekspresi √- 1 dan √-2 tidak dimungkinkan atau merupakan bilangan-bilangan imajiner, karena akar bilangan adalah negatif; sesuatu tidak ada apa-apa (nothing) karena bukan bilangan dan bukan pula bilangan yang lebih besar dari sesuatu tidak ada (nothing). Gauss menyatakan bahwa bilangan negatif juga termasuk dalam sistim bilangan.

Gauss membagi bilangan dimulai dari bilangan kompleks. Dari bilangan kompleks itu kemudian diturunkan bilangan-bilangan lain. Keberadaan bilangan kompleks tidak hanya mempengaruhi aljabar, tapi juga berdampak pada analisis dan geometri. Teori fungsi dari bilangan kompleks kemudian dikembangkan; geometri diferensial [angka] mutlak dan analisis vektor sangat vital bagi sains modern berkembang sehingga dikenal bilangan-bilangan setengah riil dan setengah imajiner. Deret tidak terhingga yang terus membesar seperti 1 + 2 + 4 + 8 + …menggoda hati Gauss, yaitu bagaimana menghitung eskpresi matematika (fungsi) untuk menggambarkannya. Pada analis sebelumnya tidak dapat menjelaskan misteri ini, proses menuju ketakterhinggaan. Tidak puas dengan apa yang tertulis pada buku teks, Gauss menyiapkan pembuktian. Awal yang membuat Gauss berkutat dengan analisis. Metode Gauss ini mengubah seluruh aspek matematika.

Sumbangsih Gauss dalam teori probabilitas adalah kurva Gaussian yang sering disebut dengan hukum Gauss tentang distribusi normal atau yang sekarang lebih dikenal dengan kurva berbentuk lonceng. Laplace menyebut Gauss sebagai matematikawan terbesar di dunia. Sedangkan kalangan raja memberi gelar “Pangeran matematika.”

Augustin Louis Cauchy (1789 – 1857)

Augustin Louis Cauchy lahir kurang dari 6 minggu setelah terjadi revolusi Perancis, adalah anak sulung dari 6 anak (dua laki dan 4 perempuan). Masa kecil Cauchy adalah periode berdarah. Sekolah-sekolah ditutup. Terjadi kevakuman dalam ilmu pengetahuan atau kebudayaan, komunitas mulai meninggalkan kebudayaan dan ilmu pengetahuan agar tidak ditangkap, masuk penjara atau diguilotin. Guna menghindari hal-hal buruk itu, ketika umur Cauchy empat tahun, mereka sekeluarga pindah ke desa kecil, Arcueil. Pada perbatasan desa Arcueil terdapat rumah Laplace dan Claude-Louis Berthollet [1748 – 1822], dimana nama kedua diguilotin karena tahu bagaimana membuat mesiu. Keduanya adalah sahabat karib. Beberapa tahun kemudian, Laplace mengikuti kuliah dari Cauchy tentang deret tak-terhingga (infinite series) disertai dengan ketakutan bahwa penemuan anak ini tentang konvergensi dapat menghancurkan seluruh mekanika alam semesta (celestial) yang menjadi andalannya. Kompetensinya terancam karena semua perhitungannya didasarkan pada divergen. Beruntunglah Laplace karena intuisi astronomikalnya jauh dari bencana, setelah dia menguji ulang perhitungannya tentang deret dengan metode konvergensi dari Cauchy yang kemudian disebut dengan metode Cauchy.

Tahun 1805, pada usia enam-belas tahun ia diterima pada Polytechnique. Kembali dari Cherbourg, pada awal Desember 1810, Cauchy menekuni matematika. Diawali dengan belajar aritmatika dan berakhir dengan astronomi, menyederhanakan pembuktian dan menemukan proposisi-proposisi baru dengan menggunakan metode-metodenya menjadi pekerjaan sehari-hari. Cauchy kembali ke Paris dan melakukan penelitian. Topik yang menjadi pokok penelitian adalah polyhedra dan fungsi-fungsi asimetris.

Awal tahun 1811, Cauchy mengeluarkan makalah perdananya tentang polyhedra  yang mempunyai sisi lebih dari sekedar 2, 4, 6, 12 atau 20 sisi. Disusul dengan makalah kedua, dengan mengembangkan rumus dari Euler tentang geometri bidang, dengan menghubungkan jumlah sudut (S), permukaan (M), (garis) verteks (V) dari polyhedron, S + 2 = M + V. Makalah ini kemudian dicetak, dan Legendre menyuruh Cauchy melanjutkan meskipun Malus (1775 –1812) menyebutkan bahwa ada yang salah dengan rumus itu, namun Malus tidak dapat menunjukkan bagian mana yang salah.

Di tengah kesibukan, Cauchy menyunting Aloise de Bure, keturunan keluarga yang kembali sama seperti Cauchy, membenci (agama) Katholik. Mereka menikah pada tahun 1818 dan mempunyai 2 anak perempuan. Ingin ke luar dari bayang-bayang ketenaran Gauss, Cauchy melakukan kiprah di luar bidang yang menjadi kompetensi Gauss. Untuk itu Cauchy mengembangkan apa yang disebut dengan determinan. Diawali dengan membuat susunan simetri dari n faktor atau bilangan, a1, a2, a3, …, an, sebelum merumuskan difinisi determinan sebagai ekspresi yang diperoleh dari setiap perubahan. Tahun 1815, Cauchy menggunakan determinan untuk menghitung perambatan gelombang, menyelesaikan problem geometri dan fisika.

Teori substitusi, dirombak menjadi lebih sistematis oleh Cauchy, yang dikemukakannya lewat makalah-makalahnya terhitung mulai pertengahan tahun 1840. Dikembangkan dan diberi nama teori kelompok-kelompok terbatas (theory of finite groups). Operasi diberi notasi dengan huruf besar, A, B, C, D… dan dua operasi, sebagai contoh, A pertama dan B kedua, memungkinkan terjadi kesetaraan AB. AB dan BA tidak harus mempunyai operasi yang sama. Misal A adalah “Bagilah dengan 10, bilangan yang diketahui,” dan B adalah tambahkan 10 terhadap bilangan yang diketahui”, AB = x/10 + 10 sedangkan BA (x+10)/10. Apabila operasi X dan Y sama disebut sebagai sama dengan (atau equivalen) yang lazim ditulis dengan notasi X = Y. Notasi ini biasa disebut dengan asosiatif. Dikenal dua jenis asosiatif: untuk penjumlahan dan untuk perkalian. Dari tiga operasi U, V, W dalam bentuk (UV)W = U(VW) disebut menurunkan hukum asosiatif. Pada notasi pertama, UV diproses pertama, dan hasilnya dikalikan dengan W; tapi pada notasi kedua, U diproses pertama dan hasil itu dikalikan dengan VW. Tidak mau kalah, seperti halnya Euclid, Cauchy juga mengemukakan empat postulat: (i) Terdapat aturan kombinasi yang dapat dipakai pada setiap (pasangan) X, Y yang hasilnya diberi notasi XY. Kombinasi X dan Y dalam susunan ini, sesuai dengan hukum kombinasi, secara unik ditentukan operasi secara kelompok. (ii) Untuk setiap tiga operasi X, Y, Z dalam kelompok, hukum (i) disebut asosiatif, disebut (XY)Z = X(YZ). (iii) Terdapat identitas unik I dalam kelompok, untuk itu setiap operasi X dalam kelompok IX = XI = X. (iv) Jika X ada pada setiap operasi dalam kelompok, ada kelompok operasi unik, disebut X', seperti X X' = I (mudah dibuktikan bahwa XX' = I juga).

Empat postulat di atas mendasari pengambangan lebih lanjut dengan mambahas permutasi  atau substitusi kelompok-kelompok. Ilustrasi, menggunakan tiga huruf a, b dan c dapat diperoleh 6 pasangan huruf: ab, ac, bc, ba, ca, cb. Di atas adalah permutasi yang dibedakan dengan kombinasi yang diperoleh: ab, ac, bc.